$a_n = c_1(1+2i)^n + c_2(1-2i)^n$

$a_n = (\sqrt{5})^n (c_1 \cos(n\theta) + c_2 \sin(n\theta))$

$a_n = c_1(1)^n + c_2(2i)^n$

$a_n = c_1 \cos(n) + c_2 \sin(2n)$